¿QUÉ SON LOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS?

POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS 

¿QUÉ SON LOS POLIEDROS? 

Los poliedros son elementos geométricos que disponen de caras planas y que albergan un volumen que no es infinito. 

Un poliedro puede ser entendido como un cuerpo sólido y tridimensional. Cuando todas sus caras son iguales entre sí, se lo califica como un poliedro regular. De lo contrario será un poliedro irregular, otra clasificación es la cantidad de caras que presenta cada poliedro.

Por otra parte, se puede diferencia entre poliedros cóncavos y poliedros convexos.

Los poliedros cóncavos son aquellos que, al unir dos puntos situados dentro del cuerpo, el segmento correspondiente sale de la superficie.

Los poliedros convexos son aquellos, los cuales los segmentos vinculan dos puntos del espacio interior nunca salen del cuerpo geométrico.

EJEMPLOS:

             

             

¿QUÉ SON LOS CUERPOS REDONDOS?

Los cuerpos redondos por lo general son la esfera, el cono y el cilindro.  Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Una circunferencia es una línea curva, cerrada, y plana, cuyos puntos están en la misma distancia del centro. 

EJEMPLO:

             

CILINDRO 

Es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por el giro de una región rectangular en torno a uno de sus lados o también entorno a uno de sus ejes de simetría. 

EJEMPLO:

              

CONO

Es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Eje: Es el cateto fijo del cual gira el triángulo.

Base: Es el círculo que forma el otro cateto.

Altura: Es la distancia del vértice a la base.

Generatriz: Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

EJEMPLO:

               

ESFERA

Cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están todos a igual distancia de un interior llamado centro. 

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

EJEMPLO:

            

LÍNEAS NOTABLES

Radio: Recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Cuerda: Recta interior a la circunferencia que toca dos de sus puntos.

Diámetro: Es la cuerda mayor de la circunferencia, divide en dos partes iguales al círculo.

Arco: Cualquier segmento de la circunferencia.

Semicircunferencia: Mitad de la circunferencia.

Tangente: Recta exterior a la circunferencia que toca sólo un punto ella. 

Secante: Recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.

A continuación para más entendimiento sobre los cuerpos redondos dejaré dos vídeos correspondientes al tema:

EJEMPLOS:

            

           

¿QUÉ SON LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN?

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 

DEFINICIÓN:

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo,, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

ROTACIÓN PARALELA AL EJE DE ABSCISAS (EJE X) 

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas f(x) y g(x) definidas en un intervalo (a, b) alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje Ox de expresión y= K siendo K constante.

ROTACIÓN PARALELA AL EJE DE ORDENADAS (EJE Y) 

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo (a, b) alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de las coordenadas cuya expresión es x= K siendo K constante positiva. 

MÉTODO DE DISCOS

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.

Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen particiones en la gráfica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo, teniendo en cuenta que la suma del Riemann asociada a la partición y que da un volumen aproximando del sólido.

EJEMPLO:

             

CÁLCULO DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE ARANDELA.

Ahora se presenta un método alternativo de calcular el volumen de un sólido de revolución conocido como método de las arandelas o de anillo, con lo cual damos a conocer en que se basa dicho método, presentando algunas fórmulas, teoría y algunos ejemplos para un mejor entendimiento. 

¿QUÉ ES EL MÉTODO DE ARANDELA?

En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formará el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al sólido en revolución. 

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar un región R que se encuentra entre dos curvas. Si la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sonido generado tendrá un hueco o agujero, las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. 

                                                 
EJEMPLO:

             

LONGITUD DE CURVA
Por longitud de una recta queremos decir: el número de veces que podemos colocar sobre ella un segmento rectilíneo que se toma como una medida de longitud. Sin embargo podemos medir las líneas curvas de la misma manera, puesto que es imposible que el segmento coincida con la curva. 

EJEMPLO:

           

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA
Se define como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el número de los puntos de división tiendo a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados tiene a cero.

EJEMPLO:
  
           


OFERTA Y DEMANDA 

La oferta es la cantidad de productos o servicios ofrecidos en el mercado. En la oferta, ante un aumento de precio, aumenta la cantidad ofrecida. 
La demanda es la cantidad de bienes o servicios que los compradores intentan adquirir en el mercado. 

CURVA DE LA OFERTA  

En la curva puede verse como cuando el precio es muy bajo, ya no es rentable ofrecer ese producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidad ofrecida es 0.

          

   CURVA DE LA DEMANDA

Por medio de la ley de la demanda, se determina que al subir el precio de un bien o servicio, la demanda de éste disminuye. A diferencia de los cambios en otros factores que determinan un corrimiento de la curva en sí).

      

EJEMPLO:

          

                                                

¿QUÉ SON LOS POLIEDROS?

POLIEDROS 

    

DEFINICIÓN:

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. 

TIPOS DE POLIEDROS:

Los poliedros se pueden clasificar mediante dos criterios: 

Regulares: Un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos de los poliedros son iguales.

Irregulares: Poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

                             

Según si son poliedros convexos o cóncavos:

Poliedro convexo:Si todo par de puntos de la superficie del poliedro puede ser unido por una línea recta que no sale en ningún momento del interior del poliedro.

Poliedro cóncavo:Si existe un par de puntos de la superficie de la figura que para unirlos mediante una línea recta, necesariamente dicha recta tiene que salir del interior del poliedro.

  

                                         

TIPOS DE POLIEDROS REGULARES 

Un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y son todos iguales. Los aristas también son todas iguales. Existen sólo cinco tipos de poliedros regulares:

Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales. 

Cubo: poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales. 

Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales. 

Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales. 

Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos equiláteros iguales. 

         

TIPOS DE POLIEDROS IRREGULARES 

Los poliedros irregulares son poliedros cuyos caras son polígonos no todos iguales. Principalmente por el números de caras que tiene su superficie:

Tetraedro: poliedro irregular con cuatro caras.

Pentaedro: poliedro irregular con cinco caras.

Hexaedro: poliedro irregular con seis caras.

Heptaedro: poliedro irregular con siete caras.

Octaedro: poliedro irregular con ocho caras.

Eneaedro: poliedro irregular con nueve caras.

Decaedro: poliedro irregular con diez caras.

Dos casos singulares de tetraedro irregular son el tetraedro trirrectángulo y el tetraedro isofacial.

El tetradero trirrectángulo tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Las cuatro alturas de este tetraedro irregular concurren en un punto. Es ortocéntrico.

El tetraedro isofacial es otro tetraedro irregular cuya base es un triángulo rectángulo y sus tres caras laterales son tres triángulos isósceles iguales. Es una pirámide triangular regular.

Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y los prismas.

                                        

EJEMPLO 1:

         

EJEMPLO 2:

          

EJEMPLO 3:

          

  

¿QUÉ ES EL SISTEMA TRIDIMENSIONAL?

SISTEMA TRIDIMENSIONAL

DEFINICIÓN:

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los cuales se denominan ejes Ox, Oy, y z.

Las coordenadas del punto E de la figura son (x, y y z).

La distancia asignada como "x" se llama abscisa; "y" se llama coordenada, y "z" se llama cota.

Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

A continuación se mostrarán los signos de las coordenadas en la siguiente figura.

FORMAS TRIDIMENSIONALES:

En geometría son tridimensionales las siguientes figuras geométricas:

Poliedros de caras planas:
Pirámides
Cubo
Prismas

Superficies curvas:
Cilindro 
Conos
Esfera



EJEMPLO 1:

El cubo de una figura tiene un arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura.
¿Cuál son las coordenadas del punto P?.

En la figura se cumple que x= 0; y= 8 y z= , por lo tanto sus coordenadas son (0, 8, 8).

EJERCICIO 2: